Рациональные и иррациональные числа: полное руководство

Числа делятся на две большие категории: рациональные числа и иррациональные.
Понимание разницы между ними — основа для успешного освоения алгебры и анализа.

---

1. 🧮 Рациональные числа

Рациональным числом называется любое число, которое можно записать в виде обыкновенной дроби:

$$\frac{a}{b},\quad a,\,b \in \mathbb{Z},\; b \neq 0.$$

Включая:

• Целые и рациональные числа: каждое целое число $n$ тоже считается рациональным, ведь $n = \tfrac{n}{1}$.
• Десятичные рациональные числа: могут быть конечными ($-0{,}125$, $1{,}25$) или бесконечными периодическими ($0{,}33\ldots$, $2{,}7272\ldots$).

1.1 📋 Классы рациональных чисел

• Натуральные рациональные числа: $1, 2, 3, \dots$
• Отрицательные рациональные числа: $-\tfrac{4}{5}, -2, -0{,}75$
• Целые рациональные числа: $-3, 0, 5, \dots$
• Десятичные рациональные числа: конечные и периодические дроби

1.2 ➕ Действия с рациональными числами

Сложение

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}.$$

Вычитание и деление по аналогичным правилам.

Умножение

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.$$

Свойства рациональных чисел:

• Замкнутость при сложении и умножении
• Существование обратного при умножении (для $a/b \neq 0$)
• Коммутативность и ассоциативность

---

2. 🔢 Иррациональные числа

Иррациональным числом называется число, которое нельзя записать в видe $\tfrac{a}{b}$.
Его десятичное представление — бесконечное непериодическое.

Примеры иррациональных чисел:

• $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$
• $\pi$
• $e$
• «Золотое сечение» $\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$

2.1 🗂 Множество иррациональных чисел

Обозначается $\mathbb{I}$ — все точки на числовой прямой, не входящие в множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

---

3. 💯 Множество действительных чисел

Совокупность действительных чисел $\mathbb{R}$ объединяет оба множества:

$$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}.$$

Каждой точке на числовой прямой соответствует ровно одно действительное число.

---

4. ❓ Почему важно понимать разницу?

• При решении уравнений и неравенств нужно знать, какие числа рациональные, а какие — иррациональные.
• В геометрии и анализе иррациональные числа ($\pi$, $e$) встречаются постоянно.
• Понимание целых и рациональных чисел, дробей, десятичных рациональных чисел — основа любой алгебры.

---

✏️ Заключение

Если ученику нужны эти и другие, более сложные темы, приходите на занятия!

📞 Контакты
– Telegram: @mln_055
– Телефон: +998 95 038 0660

Алгебра, рациональные числа и действительные числа станут понятными и интересными!